Calculer le Lagrangien.

Calculer \(G_*(\lambda,\mu)\) : c'est un \(\inf\) \(\to\) vérifier pour quelles valeurs des contraintes \(\lambda,\mu\) la valeur de \(x\) n'est pas simplifiée.

Le problème dual revient donc à maximiser la quantité dans le cas fini, avec la contrainte associée (⚠ \(\mu\) doit être positif !).

Calculer le lagrangien associé.

Calculer \(G_*(\lambda,\mu)\), en faisant attention aux cas où les \(y\) s'annulent.

Le problème dual revient à maximiser dans le cas \(\ne-\infty\), avec la contrainte associée.

Calculer le lagrangien.

Calculer \(G_*(\lambda,\mu_1,\mu_2)\) (vérifier le cas où les \(x,y\) s'annulent).

En déduire la valeur à maximiser et la contrainte.

L'existence vient du Théorème de Weierstrass.

L'unicité vient de la convexité stricte.

La qualification vient du fait qu'on est sur une boule.

Calculer le lagrangien et son gradient en \(x\).

En déduire la valeur de \(x\) nécessaire à l'annulation de ce gradient.

Le problème dual est donc de maximiser le laplacien en ce point \(x\).

Exprimer le lagrangien.
$$\mathcal L((x,y),\mu)=2x+3y+\mu(x^2+3y^2-1)$$

Si \(\mu=0\), alors le lagrangien est affine et son \(\inf\) est \(-\infty\).
$$G_*( \mu)=\begin{cases}-\infty&\text{si}\quad \mu=0\\ ???&\text{sinon.}&\end{cases}$$

Dans le cas contraire, on a un polynôme convexes, qu'on peut minimiser en dérivant en \(x\) et en \(y\).
$$\frac\partial{\partial x}\mathcal L((x,y),\mu)=2+2\mu x\quad\text{ et }\quad\frac\partial{\partial y}\mathcal L((x,y),\mu)=3+6\mu y$$
On peut donc minimiser en prenant \((x,y)=(-\frac1\mu,-\frac1{2\mu})\).

$$G_*( \mu)=\begin{cases}-\infty&\text{si}\quad \mu=0\\ \mathcal L((-\frac1\mu,-\frac1{2\mu}),\mu)=\frac{-7}{4\mu}-\mu&\text{sinon.}&\end{cases}$$
4i : Calculer la valeur de \(G_*(\mu)\) dans ce cas.

Conclusion : exprimer la valeur du problème dual.

Le problème dual est donc : $$\max_{\mu\geqslant0}\frac{-7}{4\mu}-\mu$$